Aplicaciones del ábaco de Smith

(Primera publicación 2000-12-??)

(Ultima revisión 2009-10-02)

Por Miguel R. Ghezzi (LU 6ETJ)
SOLVEGJ Comunicaciones
www.solred.com.ar/solvegj

(Para visualizar los caracteres especiales precisa tener instalada en su sistema la fuente Symbol)

Nota: El presente trabajo, en su primera fase, es preliminar y está en proceso de revisión, por lo tanto puede contener errores. También faltan completar temas tales como:  la operación con líneas con pérdidas y su aplicación práctica en redes de adaptación de impedancias más complejas que empleen varios elementos de constantes concentradas y/o líneas tipo "microstrip" o "stripline".


El radioaficionado que busca en su actividad algo más que un pasatiempo y encara la afición en forma creativa, al intentar obtener una mejor comprensión de los fenómenos que involucra la radio, encuentra a menudo limitaciones teóricas que le cierran el camino a su objetivo. Ciertos conocimientos que habitualmente son propios de la ingeniería de radio se encuentran en libros universitarios que presumen conocimientos teóricos previos, lo que desalienta el intento y frustra sus iniciativas. El presente trabajo es un intento para acercarle algunos elementos que le permitan encarar algunos de los desafíos cotidianos

Existen herramientas muy potentes que, si bien se enseñan en los últimos años de las carreras de ingeniería, pueden comprenderse muy bien con los conocimientos propios de un aficionado avanzado, aunque no profesional. Tal es el caso del Abaco de Smith el cual abre las puertas a cuestiones que parecen oscuras e insalvables. Aunque precisa de algunas nociones previas de mediana dificultad para el hobbista emprendedor. Este artículo pretende explicar su uso con ejemplos, haciendo el mejor esfuerzo de su autor para no sobreestimar la capacidad del lector. La intención está centrada en soslayar la brecha que suele producir la falta de una base universitaria en la teoría de los circuitos y las matemáticas del campo complejo.

Lamentablemente no se puede encarar una explicación útil de las posibilidades del ábaco sin conceptos previos tales como: Resistencia, Reactancia, Impedancia, Conductancia, Susceptancia, Admitancia, longitud de onda, velocidad de propagación, longitud eléctrica de una línea, relación de ondas estacionarias, coeficiente de reflexión, fase, etc. Felizmente, estas cuestiones abundan en los libros de electrónica básica de radio y también en los radio handbooks.

El ábaco de Smith es un formidable instrumento que de manera relativamente simple y con métodos principalmente geométricos resuelve (y permite comprender mejor) complicados procesos que se producen en las líneas de trasmisión y los dispositivos adaptadores de impedancia los cuales, de otro modo, requerirían herramientas matemáticas relativamente complicadas. Fue creado por Phillip H. Smith de la RCA (1.905-1.987).

Son tantas y tan variadas las posibilidades que brinda este nomógrafo, que solo tratar de mencionarlas haría extender esta introducción mucho más allá de lo que ha ocupado, por lo que apostaremos al lector paciente capaz de esperar hasta llegar al final de camino para que paso a paso vaya descubriendo sus posibilidades e infiriendo en cada uno todas las posibilidades que se abren a cada paso.

Indice:

Descripción geométrica del ábaco

Algunos usos del ábaco


Descripción geométrica del ábaco

Previamente a la lectura de todo el artículo tenga a mano un ábaco completo en papel con todas sus inscripciones pues en la página web emplearemos una versión simplificada para que la trasmisión de la información sea rápida. Haciendo clic aquí Ud. podrá bajar una imagen detallada del ábaco con fines puramente didácticos la cual no debería emplearse para el trabajo cotidiano pues está protegida por los derechos de copyright de sus propietarios. 

Antes de comenzar dejaremos en claro que el ábaco puede operar (y de hecho eso se hace constantemente) con las inversas. En los ejemplos emplearemos Reactancia, Resistencia e Impedancia, pero debe comprenderse que cualquier operación que pueda hacerse con estas magnitudes podrá efectuarse con Susceptancia, Conductancia y Admitancia. Todas las líneas de referencia son duales: pueden representar la magnitud y su inversa tal como está expresamente señalado en el mismo ábaco.

El ábaco se presenta como un círculo que en su periferia contiene varias escalas circulares (dibujadas en esta página con celeste y amarillo), en su interior tiene dibujadas otras escalas. Es importante que observe cuidadosamente la geometría del ábaco lo que también destacará lo ingenioso de esta construcción.
En principio el círculo es ni más ni menos que una representación en coordenadas polares habitual, en la cual se representará un número complejo. Este complejo es el Coeficiente de reflexión
G (Gamma). El módulo de G (llamado r - Rho) puede tener como valor máximo 1, donde alcanza la periferia del gráfico, el argumento del complejo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj, como es usual, estando 0° (o 360° que es lo mismo) sobre el lado derecho del eje horizontal y 180° sobre la izquierda del mismo. El centro del ábaco corresponde al centro del sistema de coordenadas polares.

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Escalas de Resistencia y Reactancia 

La recta horizontal que pasa a través del centro del ábaco se denomina "Eje de los reales". Es una escala en la que se representará la parte real de una impedancia compleja, es decir su resistencia. Observe que ésta es la única línea recta que posee.
El valor de resistencia cero esta sobre la izquierda del eje y el valor de resistencia infinita sobre la derecha.
La escala no es lineal y en su centro, que coincide con el centro del ábaco, se representa la impedancia característica de la línea de trasmisión que estemos analizando. Habitualmente será 50 ohms pero puede ser cualquier otro, 5 ohms, 75 ohms, 600 ohms, etc. Muy frecuentemente este valor será 1 (uno) sin que esto signifique que la línea de trasmisión tenga una Zo = 1, sino que este valor será "la impedancia normalizada de la línea" concepto que explicaremos muy pronto. Hay muchas operaciones que podemos realizar con el ábaco y que no emplean líneas de trasmisión, en este caso el centro será simplemente un punto de referencia.

Círculos de Resistencia y Reactancia constante

Dentro del ábaco encontraremos un grupo de varios círculos completos (aunque por legibilidad no se dibujen completamente sobre el lado derecho), cuyos centros están situados sobre el eje de los reales. Se denominan "Círculos de resistencia constante"; cortan al eje de los reales en dos puntos: uno sobre el borde derecho correspondiente a resistencia infinita y otro en distintos puntos del eje que identificarán con su valor de resistencia al círculo correspondiente. Así tendremos el círculo de resistencia constante de 10 ohms, de 100 ohms, etc. Pronto veremos que quiere decir esto de "Resistencia Constante". Estos círculos están dibujados en color rojo en la figura de ejemplo.

También se dibujan porciones de círculos cuyos centros están fuera del ábaco y que intersectan a la circunferencia exterior en dos puntos; uno de ellos coincidiendo con valor infinito del eje de los reales (sobre la derecha) y el otro en el borde exterior calibrado en valores de reactancia. Cada uno de estos círculos representa un valor de reactancia, se denominan "Círculos de reactancia constante".

Los que están arriba del eje de los reales corresponden a valores de reactancia inductiva/susceptancia capacitiva (dibujados en color verde) y los que están debajo a reactancia capacitiva/susceptancia inductiva (dibujados en color azul).

Estas porciones de circulo intersectan la circunferencia exterior de forma perpendicular y así como los círculos de resistencia constante eran todos tangentes al borde derecho del ábaco, estos son tangentes al eje de los reales en R = ¥. 

Observe que los círculos de reactancia y resistencia constante se intersectan entre si en toda el área del ábaco de forma perpendicular, por esta razón estas familias de círculos se denominan "Familias de círculos ortogonales".

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Las escalas circulares exteriores

Pobre servicio nos prestaría el ábaco si no contara con los círculos exteriores. Estos círculos nos permitirán averiguar valores de impedancia y otros que dependen de la posición sobre la línea de trasmisión porque, como ya sabemos, a medida que nos desplazamos por una línea el valor de impedancia en cada punto considerado será diferente (siempre y cuando la impedancia de carga no coincida con el valor de Zo).

Las dos escalas exteriores están calibradas en términos de longitudes de onda a lo largo de una línea de trasmisión marcadas como: WAVELENGHT TOWARD GENERATOR (longitudes de onda hacia el generador) y WAVELENGHT TOWARD LOAD (longitudes de onda hacia la carga) (círculo amarillo de la figura).
La escala del círculo más externo se incrementa en sentido horario; la segunda que le sigue hacia adentro lo hace en sentido antihorario. Ambas tienen el cero está donde la escala corta al eje de los reales en R = 0.
Note que son escalas idénticas pero opuestas.
Los valores de esta escala corresponden a posiciones físicas en la línea medidas desde el generador o la carga en términos de longitudes de onda: Suponiendo una longitud de onda de 1 m, un punto de la misma que esté situado 10 cm contados desde la carga se encontrará a 0,1
l "hacia el generador". Debe tenerse cuidado con esta escala, ella es de lectura directa únicamente con valores puramente resistivos de impedancia de carga (o generador). Luego veremos cómo se emplean.

Si observamos con cuidado, veremos que en el punto en que la escala "WAVELENGHT TOWARD GENERATOR" intersecta al eje de los reales en ¥ (infinito) se lee 0,25 l que corresponderá, naturalmente, a un punto alejado 1/4 l de la carga. Ambas escalas finalizan cuando alcanzan nuevamente el punto de partida en el valor 0,5 l y que corresponde a un punto alejado 1/2 l de la carga o el generador según la escala que estemos considerando.

Con esto vemos que una rotación completo en el ábaco representa un movimiento de 1/2 onda a lo largo de la línea. Debe quedar claro a partir de aquí que un grado sexagesimal en el ábaco corresponde a 0,5° eléctricos de la línea de trasmisión y por lo tanto 360° sexagesimales corresponden a 180° eléctricos. Recordemos esto cuando utilicemos un transportador en el trabajo con el ábaco.

Hay una tercer escala muy importante denominada "ANGLE OF COEFICIENTE OF REFLECTION IN DEGREES" (Angulo, o fase, del coeficiente de reflexión en grados, en color celeste sobre la figura) cuyo cero está a la altura del valor ¥ (infinito) del eje de los reales. Sobre el semicírculo superior se cuenta en sentido antihorario desde 0° a +180° y sobre semicírculo inferior en sentido horario desde 0° a -180°. Recordemos siempre que son "Grados eléctricos".

Fuera del gráfico suelen agregarse escalas rectas auxiliares denominadas "Nomógrafos radiales" que ayudarán a obtener lecturas directas de algunos parámetros según se verá luego.

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Los números normalizados

Puesto que las líneas de trasmisión pueden tener cualquier valor de impedancia característica, podría pensarse que es necesario un ábaco diferente para cada tipo de línea, de hecho existen ábacos específicos para líneas usuales como las de 50 ohms, pero lo usual es recurrir a un simple truco para emplear siempre un mismo ábaco independientemente de la Zo de la línea que nos interesa. Para ello se recurre a un procedimiento conocido como "Normalización de unidades". El truco consiste en referir todas las impedancias del problema al valor de impedancia característica de la línea que estemos considerando.

En este tipo de ábaco (el más común por cierto) el centro del gráfico corresponde al valor real 1 (uno) el que, a su vez, corresponderá al valor de la Zo de la línea usada. Entonces:

  • Si la línea empleada es de 50 ohms el valor "1" corresponderá a 50 ohms. Si la línea empleada es de 75 ohms el valor "1" corresponderá a 75 ohms y así sucesivamente.

  • Cualquier de impedancia puede "normalizase" con el simple trámite de dividirla por la impedancia característica de la línea considerada.

Ejemplos: Llamaremos Z al valor que estamos normalizando y ZN al normalizado. La Zo de la línea es de 50 ohms.

Normalizar Z = 50 ohms (resistiva pura)

                                 Z      50 ohms       50 ohms
Z = 50 ohms => ZN =  ---- = --------- =  ---------- = 1
  
                                    Zo         Zo           50 ohms

Normalizar Z = 100 + j100 ohms (inductiva)

Z = 100 + j100 => ZN = Z/Zo = 100/Zo + j(100/Zo) = 200/50 + j200/50) = 2 + j2.

Normalizar Z = 25 - j50 ohms (capacitiva)

Z = 25 - j50 => ZN = Z/Zo = (25 - j50)/50 = 25/50 - j(50/50) = 0,5 - j1

Para desnormalizar los valores obtenidos con nuestros trabajos sobre el gráfico y obtener los valores verdaderos basta con el procedimiento inverso: Z = Zo x ZN, es decir que multiplicamos por Zo al valor normalizado Zn obtenido mediante alguna operación el ábaco.

Por ej. Al realizar cierta operación sobre el ábaco obtenemos un punto en el gráfico ZN = 1,5 + j1,5, ¿qué valor de impedancia representa si la línea es de 50 ohms?

Z = Zo x ZN = 50 (1,5 + j1,5) = 50 x 1,5 + j0 x 1,5 = 75 + j75

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Algunos usos del ábaco

Representando impedancias en el ábaco

Para representar un valor cualquiera de impedancia, basta buscar la intersección del círculo de resistencia constante que corresponde al valor resistivo de la impedancia, con el círculo de reactancia constante correspondiente al valor reactivo de la misma (advierta que la superficie del ábaco es el lugar geométrico de todos los valores posibles de impedancia que pueden existir).

 

Una de las aplicaciones comunes de esta manera de graficar consiste en la representación de valores de impedancia que varíen conforme a algún parámetro de los que un sistema sea dependiente tal como la frecuencia, potencia, temperatura, etc. Es una forma frecuente de representar características de transistores de radiofrecuencia en los manuales, como se ve en la figura. 

 

 

 

Ejemplo:

Conectamos al extremo de una línea de Zo = 50 ohms una carga ZL = 40-j30 ohms y deseamos representar su valor en el ábaco.

La normalizamos para trabajar sobre un ábaco estándar:

ZN = Z/Zo = (40 - j30) W / 50 W = 0,8-j0,6

Para dibujar este punto en el ábaco se busca el valor 0,8 sobre el eje de los reales (correspondiente a valores resistivos) por este punto pasará un círculo de resistencia constante correspondiente a este valor que señalaremos de un modo conveniente.

Inmediatamente buscamos el valor 0,6 sobre borde del gráfico en la escala de reactancias capacitivas (-j denota reactancia capacitiva y +j inductiva) y al que también señalaremos de algún modo.

La impedancia 0,8 - j0,6 quedará representada en el punto de intersección de los dos círculos que hemos señalado.

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El círculo de Gamma constante

Ahora tracemos un círculo con centro en el centro del ábaco y que pase por el punto que representa la impedancia. El círculo que hemos dibujado se denomina "Círculo de Gamma constante", Con él se puede averiguar el valor del coeficiente de reflexión, para ello se mide el radio de este círculo con una regla y se lo divide por el radio del ábaco, En nuestro caso el resultado debería ser aproximadamente 0,33 (recordemos que el módulo del coeficiente de reflexión se puede definir como:

  donde Pr = Potencia reflejada y Pi = potencia incidente).

Vemos que este círculo corta al eje de los reales en dos puntos: En el que está a la derecha del centro (en rojo) se puede leer directamente la Relación de Ondas Estacionarias directamente con el número escrito sobre el eje de los reales (si, en un ábaco normalizado ese valor numérico de la ROE (SWR) se puede leer en el mismo eje en que se leen las resistencias de los círculos de resistencia constante), que en este ejemplo será igual a 2 : 1.

Si se midiera la tensión en este punto sobre la línea de transmisión, se vería que la tensión es máxima (la corriente medida sería la mínima).

Igualmente, en el punto de intersección del círculo de Gamma constante distante 1/4 de onda, sobre el eje leeremos la inversa del valor de la ROE (0,5 en verde) que se llama "Factor de adaptación" (Matching Factor) y si midiéramos la tensión sobre la línea en este punto resultaría ser un mínimo (la corriente un máximo).

Dibujemos ahora una semirrecta que parta del centro del gráfico, que pase por el punto que representa la impedancia del ejemplo anterior y se prolongue hasta el borde del ábaco, el punto de intersección de la recta trazada desde centro al borde sobre la escala marcada "ángulo del coeficiente de reflexión" representa la fase del coeficiente de reflexión (el ángulo con que la onda reflejada atrasa o adelanta respecto de la incidente) que en nuestro ejemplo será de -90° y que está indicado en azul.

  • Cuando las ondas viajeras directas y reflejadas se suman en fase, esos puntos de la línea se llaman "Vientres de tensión" porque dan un máximo de tensión, en ellos la impedancia es puramente resistiva, mayor que la característica de la línea y el ángulo del coeficiente de reflexión es 0°

  • Cuando las ondas viajeras directas y reflejadas se restan en fase, esos puntos de la línea se llaman "Nodos de tensión" porque dan un mínimo de tensión, en ellos la impedancia es puramente resistiva, menor que la característica y el ángulo del coeficiente de reflexión es 180°.

De aquí en adelante iremos viendo distintos ejemplos explicados con más detalle para comprender el funcionamiento del ábaco.

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La línea como transformador de impedancia

Nuestro ejemplo nos dio una información quizás más importante que la que buscamos originalmente:

Los puntos situados sobre el círculo de de Gamma constante representan todas las impedancias posibles de encontrar a lo largo de la línea de trasmisión para esa carga. Esto también nos advierte que todas esas impedancias se corresponden con uno y solo un valor de ROE, lo cual es otra muestra de que la ROE no varía a lo largo de una línea de trasmisión (y que de nada sirve buscar, a estos efectos, algún punto "privilegiado" recortando el cable, aunque es cierto que en una línea con pérdidas la ROE va disminuyendo progresivamente a medida que nos alejamos de la carga debido a ellas)

Reflexione en lo siguiente: Si la impedancia en la línea a 10 cm de la carga tiene un dado valor, podemos imaginar que si la cortáramos en ese punto e instaláramos allí una carga con una impedancia igual al valor leído en el ábaco para ese punto, el resto de la línea no se enteraría del "fraude", de esto podemos deducir otro dato fundamental: los valores que atraviesa el círculo de gamma constante son todos los valores (y los únicos), de impedancia posibles capaces producir  una ROE de 2 : 1 en una línea de 50 ohms...

Observe que ningún punto del círculo de Gamma constante pasa por R = 1 (el centro del ábaco que correspondería, desnormalizando, a 50 ohms). Esto muestra que no existe ningún punto a lo largo de la línea que presente 50 ohms puramente resistivos (lo que también echa por tierra cualquier fantasía acerca de adaptar la impedancia recortando el cable) pero ¡el círculo de Gamma constante si corta al círculo de resistencia constante = 1, por lo que si es posible obtener 50 +/- jX siempre!, lo cual ya nos está insinuando una manera correcta de adaptar una impedancia de carga cualquiera a un generador cuya ZG sea de 50 ohms, como veremos en otro ejemplo. En el actual esto se produce en los puntos Z = 1 ± j0,7 (indicados en amarillo) que equivalen (desnormalizando) a una impedancia de 50 ± j35, por lo tanto, si logramos cancelar los 35 ohms capacitivos o inductivos con un elemento con una reactancia igual pero de signo opuesto ¡habremos logrado la adaptación...!

Puesto que la ROET es la misma, es el mismo también el coeficiente de reflexión por lo tanto la relación entre la potencia incidente y la reflejada en todos los puntos de una línea sin pérdidas

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Convirtiendo Impedancias en Admitancias y viceversa

Es muy fácil convertir Impedancias en Admitancias y viceversa con el ábaco. Una vez graficado el punto correspondiente a la Impedancia, basta trazar una línea que, partiendo desde él y pasando por el centro, intersecte al círculo de Gamma constante sobre el lado opuesto. En dicha intersección podremos leer directamente el valor de conductancia y susceptancia.

Ejemplo: 

Tenemos una impedancia:
Z = 50 + j50 
W ¿cuál es su admitancia?

Normalizamos ZN = (50 + j50) / 50 =
1 + j1 y lo marcamos en el gráfico.

Trazamos el círculo de Gamma constante que pasa por él y dibujamos la línea que pasando por el centro intersecte al círculo de Gamma constante sobre el lado opuesto, allí leemos directamente:

Y = 0,5 - j0,5 [siemens]

Teniendo la Admitancia, podemos expresar nuestra impedancia en su equivalente paralelo de la forma:
Rp
// Xp, para ello basta con obtener las inversas de G y B, entonces:

Rp = 1 / G = 1 / 0,5 S = 2 W ; Xp = 1 / B = 1 / 0,5 S = 2 W, que desnormalizado corresponderá a
Rp = 100
W; Xp = 100 W. La transformación serie-paralelo se realiza muy fácilmente con este procedimiento (ver: en esta misma web "La maravillosa transformación Serie-Paralelo")

Nos será muy útil, como veremos en los párrafos siguientes, para adaptar impedancias en la práctica y construir Stubs.

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Cálculo de la impedancia vista por el generador

Ejemplo:

Una línea con Zo = 50 ohms, 6 m de longitud y velocidad de fase relativa (o factor de velocidad) = 0,66, se conecta a una carga ZL = 50 + j50 W. ¿Cuál es la impedancia vista en los bornes correspondientes del generador en 14,1 MHz?. (Ver la figura que se encuentra más abajo).

1) Se normaliza la impedancia de carga

50 W + j50 W
---------- = 1 + j1 
    50
W

2) Se calcula la longitud de onda en el vacío correspondiente a 14,1 MHz

l = 3 x 108 [m/s] / 14,1 x 106 [Hz] = 21,3 [m]

3) Se determina la longitud de onda en el coaxil (cuyo factor de velocidad es 0,66).

lc = 0,66 x 21,27 m = 14,03 m (que naturalmente corresponderán a una longitud eléctrica de 360° pues es una onda ).

4) Se averigua la cantidad de longitudes de onda en coaxil que representan los 6 m de línea:

ll = 6 m / 14,03 m = 0,428 l

4 bis) Se calcula la longitud eléctrica correspondiente a los 6 m de la línea.

q = 360° * 6m / 14 m = 154,28 grados eléctricos que en grados sexagesimales del gráfico serán 308,56°.

5) Se representa en el gráfico la impedancia  Z = (1 + j1).

6) Se traza  el círculo de Gamma constante que pasa por el punto Z (nos indicará una ROET = 2,6 : 1)

7) Se traza una semirrecta desde el centro hasta la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR que pase por el punto Z  (cae aprox. en el valor 0,161 l hacia el generador).

8) A partir de este valor se suma el valor de longitud de la línea expresada en longitudes de onda calculado (0,428), entonces 0,161 l + 0,428 l = 0,589 l, pero 0,589 no es un valor que esté indicado en la escala que solo alcanza hasta 0,5, entonces simplemente se resta 0,5 l y obteniendo 0,089  l

9) Se dibujar otra semirrecta desde el centro hasta la escala exterior en el punto 0,089 l.

10) La intersección de esta semirrecta con el círculo de Gamma constante da la impedancia buscada.

Z = 0,5 + j0,5 que desnormalizada (multiplicando por Zo) es Z = 25 W + j25 W

Este proceso se denomina rotación pues en el ábaco se realiza una rotación geométrica del punto Z sobre el círculo (circunferencia) de Gamma constante, con centro en el mismo.

Es posible proceder a la inversa: conociendo la impedancia en los bornes de entrada de nuestra línea de trasmisión, podremos averiguar la impedancia de la antena, dicho de otro modo: si la impedancia medida sobre el lado del generador fuera Z = 25 + j25 (el resultado del ejemplo), obviamente la impedancia de carga sería ZL = 50 - j50 W (el dato del ejemplo).

Nótese que si se realiza una rotación de 0,5 l que corresponde a 360° en el gráfico se llega exactamente al mismo punto lo que muestra que cada 1/2 l se repite la impedancia. Este fenómeno es muy útil pues si se corta la línea de alimentación de una antena en múltiplos de media onda (en coaxil) podemos efectuar mediciones directas de Z sobre el lado del generador sin tener que transformarlas para averiguar el verdadero valor, (siempre con la reserva de que en FME normalmente una longitud de línea normal representa muchos "largos de onda" y el error en la velocidad de fase relativa supuesta del coaxil, puede producir mediciones absolutamente erradas por la acumulación de errores).

Si este procedimiento le resulta confuso en términos de longitudes de onda, es posible proceder empleando grados eléctricos y sexagesimales para la construcción gráfica, veamos:

 1) Se normaliza la impedancia de carga

50 W - j50 W
------------ = 1 - j1
    50
W

2) Se calcula la longitud de onda correspondiente a 14,1 MHz

l = 3 x 108 [m/s] / 14,1 x 106 [Hz] = 21,3 m

3) Se determina la longitud de onda en el coaxil (con factor de velocidad de 0,66).

lc = 0,66 x 21,27 m = 14,03 m (que naturalmente corresponderán a una longitud eléctrica de 360°).

4) Se calcula la longitud eléctrica correspondiente a los 6 m de línea.

q = 360° * 6 m / 14 m = 154 grados eléctricos que en grados sexagesimales del gráfico serán 308°.

5) Representamos en el gráfico nuestra impedancia  Z = (1+ j1).

6) Se traza el círculo de Gamma constante que pasa por el punto Z  (indicará una ROET = 2,6 : 1).

7) Colocar un transportador con su centro en el centro del gráfico y su 0 en el punto Z, medir 308° (correspondiente a los los 154 grados eléctricos de la línea) y marcar ese punto en el círculo de Gamma constante, allí se encuentra el valor de impedancia que ve el generador: Z = 0,5 + j0,5 que desnormalizada (multiplicando por Zo) es Z = 25 + j25 W.

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Inductores y capacitores realizados con secciones de línea

Las líneas de trasmisión que tienen el extremo correspondiente a la carga en cortocircuito o abierto, tienen interesantes propiedades, entre ellas la de permitir la obtención de reactancias tanto inductivas como capacitivas. En general:

  1. Toda sección de línea de longitud menor que 1/4 l cortocircuitada en un extremo, ofrece reactancia puramente inductiva en el otro. 
  2. Toda sección de línea de longitud menor que 1/4 l en circuito abierto en un extremo, presenta reactancia puramente capacitiva en el otro.
  3. Toda sección de línea menor que 1/2 l, pero mayor que 1/4 l cortocircuitada en un extremo, presenta reactancia puramente capacitiva en el otro.   
  4. Toda sección de línea menor que 1/2 pero mayor que 1/4 l en circuito abierto en un extremo, presenta reactancia puramente inductiva en el otro.

Normalmente en FME o FUE la calidad de los inductores obtenidos con este método es superior a elementos de constantes concentradas (bobinas solenoide comunes).
En el ábaco un cortocircuito queda representado en el punto 0 (cero) del eje de los reales (extremo izquierdo), si nos dirigimos hacia el generador (sentido horario) las longitudes de línea que caen sobre todo el semicírculo superior nos darán reactancias inductivas, esto corresponde a longitudes eléctricas menores que 1/4
l. Si seguimos recorriendo, superando el cuarto de onda nos encontramos, en el semicírculo superior, y la línea nos presentará reactancias capacitivas.

Dejando la línea a circuito abierto, vemos que un circuito abierto se representa sobre el extremo derecho del eje de los reales que corresponde al valor de resistencia infinito; igual que antes, dirigiéndose hacia el generador a partir del circuito abierto, todas las longitudes de línea que se representan sobre el semicírculo inferior corresponden a reactancias capacitivas y longitudes menores que 1/4 l y si continuamos alargando la longitud de la sección todo el semicírculo superior corresponde longitudes mayores que un cuarto de onda (pero menores que media) dándonos reactancias inductivas.
Debe tenerse en cuenta que la escala calibrada en longitudes de onda tiene indicado el valor 0,25 coincidiendo con el eje real en infinito, no hay que olvidarlo en el momento de usarla.  

Ejemplo: Se necesita en 144 MHz, un inductor de de 0.11 mHy  ¿con qué longitudes de una línea de Zo = 50 Wfactor de velocidad = 0,66, lo puedo obtener y en qué condiciones?.

1) Se calcula la reactancia correspondiente a 0,11 mHy en 144 MHz

XL = 2 x p x f x L = 2 x 3,14 x 144 x 106 [Hz] x 0,11 x 10-6 [Hy] = 100 W

2) Se normaliza el valor de XL dividiéndolo por la Zo de la línea

XLN = 100 W  / 50 W  = 2 

3) Partiendo de una sección de línea con el extremo en cortocircuito, recorriendo la escala calibrada en longitudes de onda hacia el generador (sentido horario), partiendo del valor en el eje real correspondiente a 0 ohms, buscamos el circulo de reactancia constante deseado XL = 2 (que corresponde al semicírculo superior). Observamos que corresponde a una longitud de línea de 0,176 l.

3 bis) Partiendo de una sección de línea con el extremo abierto, recorriendo la escala calibrada en longitudes de onda hacia el generador (sentido horario) partiendo del valor en el eje de los reales correspondiente a resistencia infinita (el circuito abierto), buscamos el círculo de reactancia constante deseado XL = 2 (que corresponde al semicírculo superior). Observamos que también corresponde a una marcación 0,176, pero en este caso habrá que agregar los 0,25 l que recorrimos desde el valor infinito hasta el cero para alcanzar el valor buscado, por lo tanto el resultado será  0,25 l + 0,176 l= 0,426 l

4) Calculamos la longitud física de una longitud de onda en el coaxil:

  lc = (3 x 108 [m/s] / 144 x 106 Hz) x 0,66 = (300 / 144) x 0,66 = 1,375 m

5)  Multiplicamos los valores obtenidos en el punto 3 y 3 bis por la longitud de onda física que acabamos de calcular obteniendo:

Longitud de línea en cortocircuito: 0,176 x 1,375 m = 0,242 m

Longitud de línea a circuito abierto =  0,426 x 1,375 m = 0,585 m

Nota: En general conviene emplear secciones a circuito abierto pues es más sencillo ajustarlas cortándolas y porque es mucho más sencillo lograr un buen circuito abierto que un buen cortocircuito en FME y FUE.

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Adaptación de impedancias mediante secciones de línea

Según se dijo en la sección correspondiente al cálculo de la ROET, dada una carga cualquiera siempre es posible encontrar algún punto en la línea que presente una parte resistiva igual a Zo aunque con alguna componente reactiva asociada (note que el círculo de Gamma constante siempre intersecta al círculo de resistencia normalizada unitario, que denormalizada correspondería a R = Zo). Si podemos cancelar la parte reactiva que hay en ese punto obtendríamos en él una Z puramente resistiva igual a Zo. Entonces nada impide conectar en ese punto otra línea de trasmisión de la misma impedancia y de largo arbitrario que llegue hasta el generador, algo así como un "prolongador", visto de ese modo, el punto de la línea que presenta una resistencia igual a Zo (con la componente reactiva que cancelamos de alguna manera), se convierte en la "carga" para la línea prolongadora que verá una carga perfectamente adaptada y no presentará ondas estacionarias ni producirá ninguna transformación de impedancia a partir de ese punto, es decir será lo que se denomina "una línea plana".

En la práctica, una vez localizado el punto apropiado sobre la línea, se procede a intercalar allí el componente encargado de cancelar la reactancia y continuar la misma línea hasta el generador. 

En general el procedimiento es como sigue:

  1. Normalizar la impedancia de carga y graficarla en el ábaco.
  2. Trazar una línea del centro que pase por ese punto y que intersecte la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR anotando a continuación el valor en longitudes de onda que indique la escala (lo llamaremos lL).
  3. Dibujar el círculo de Gamma constante.
  4. Marcar sobre el círculo de Gamma constante los puntos (dos) donde intersecta al círculo de componente resistiva unitaria, los llamaremos P1 y P2, respectivamente .
  5. Trazar sendas líneas que, pasando por P1 y P2 intersecten la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR. Leer en ella el valor de longitud de onda correspondiente a P1 y P2 que llamaremos l1 y l2.
  6. Averiguamos la distancia sobre las escala de longitudes de onda que separa  l1 de lL y l2 de lL, a estos  resultados los llamamos L1 y L2, representando cada uno de ellos la distancia de la carga a la que se encuentran puntos de impedancia con componente resistiva igual a Zo, (expresada en longitudes de onda). En cualquiera de esos puntos podremos intercalar un elemento en serie que cancele la reactancia existente en ellos para obtener la adaptación deseada.  
  7. Encontrar para  P1 y P2 el círculo de reactancia constante que pasa por él (será uno de reactancia inductiva y el otro de reactancia capacitiva). Estos valores de reactancia son los que intercalados en los lugares hallados en el punto anterior permiten adaptar la impedancia a la línea. Pero atención, la reactancia debe ser de caracter opuesto a la leída.
  8. Elegir P1 o P2 de acuerdo a la conveniencia física del problema (a veces el primer punto está muy cerca de la carga y resulta incómodo para intercalar el componente reactivo).

Ejemplo:

Tenemos una impedancia de 20 - j10 ohms (capacitiva) alimentada por una línea de 50 ohms ¿A qué distancia de la carga, qué tipo de elemento y de qué valor hay que intercalar para que a partir de ese punto la línea quede adaptada? 

Normalizamos la impedancia de carga

ZN = ZL / Zo = (20 - j10) / 50 = 0,4 - j0,2

Trazamos la semirrecta que pasa por ZL y obtenemos lL = 0,462

Trazamos las semirrectas que pasan por P1 y P2 y obtenemos:

l1 =  0,161  ;  l2 = 0,338

Aquí hay que tener cuidado pues en todos los casos hemos indicado las lecturas sobre la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR que aumenta en sentido antihorario, pero no debemos simplemente restarlas sino determinar la distancia que las separa sobre la escala. Esto es sencillo:
Si observa el gráfico v que que resulta de ver qué distancia le falta a
lL para alcanzar 0,5 (que coincide con el cero de la escala), es decir 0,5 - lL  y a ese valor se le suma la lectura de l1 y l2, podemos evitar esta cuenta con solo leer la lectura que muestra lL sobre la escala WAVELENGHT TOWARD LOAD (verifíquelo). Entonces:

0,5 - lL = 0, 5 - 0,462 = 0,038

L1 = l1 + 0,038 = 0,161 + 0,038 = 0,199

L2 = l2 + 0,038 = 0,338 + 0,038 = 0,376

A estas distancias de la carga encontraremos los puntos en los cuales intercalando una reactancia en serie del valor adecuado lograremos la transformación que resulte en los 50 ohms deseados. Leyendo en el gráfico vemos que para el punto P1 será: -j1 y para P2 +j1, es decir la reactancia del signo opuesto a la que presenta la línea en esos puntos.

Desnormalizando, el elemento en serie será para P1, 50 ohms capacitivos y para P2 50 ohms inductivos (el valor 50, que coincide con Zo, es simple coincidencia)

Variante en paralelo

El procedimiento explicado es correcto, pero presenta un inconveniente: hay que cancelar la reactancia con un elemento en serie con la línea. En la práctica, sobre todo con cables coaxiles y por conveniencias mecánicas, resulta mejor realizar la cancelación con elementos conectados en derivación (en paralelo). Esto también es fácil resolver:

En vez de utilizar el concepto de Impedancia utilizaremos el de Admitancia, de esa manera nuestra carga de 20 - j10 la convertimos a su equivalente en Admitancia según lo visto en  "Convirtiendo Impedancias en Admitancias y viceversa".

ZL = 20 - j10 Normalizando

ZN = (20 - j10) / 50 = 0,4 - j0,2 Convirtiendo a Admitancia con el ábaco obtenemos:

YN = 2 + j1 que denormalizado es:

 YL = (2 + j1) x 0,02 = 0,04 + j0,02 Siemens 

(Recordando que, si Zo = 50 ohms  => Yo = 1 / Zo = 1 / 50 ohms = 0,02 Siemens que será la Admitancia correspondiente de la línea de 50 ohms y que emplearemos para normalizar o denormalizar nuestras Admitancias, Conductancias y susceptancias). 

Trazamos una semirrecta que partiendo del centro pase por el punto Y = 2 + j1  y corte la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR donde leemos l = 0,211.

Nuestra meta ahora será encontrar un par de puntos en el círculo de Gamma constante en que la Conductancia sea 1 (que desnormalizada representa una Conductancia de 0,02 Siemens equivalente a una Resistencia de 50 ohms).

Vemos en el gráfico que, al igual antes, encontramos dos puntos (P1 y P2) con G = 1, P1 tiene asociada una Susceptancia capacitiva (B = +j1) y P2 una inductiva (B = -J1). Igual que en el ejemplo anterior, trazando sendas líneas que pasando por esos puntos alcancen la escala WAVELENGHT TOWARD GENERATOR, leemos sobre ellas dos valores: l1 = 0,161 y l2 = 0,338 ; calcularemos la distancia para el P2 dejando la que corresponda a P1 como ejercicio para el lector.
Para obtener la distancia en longitudes de onda entre
l2  y l, simplemente los restamos:

  l2 - l = 0,338 - 0,211 = 0,127

entonces, en el punto que se halla a 0,127 l de la carga podremos conectar en paralelo una Susceptancia capacitiva de +j1 Siemens con lo cual nuevamente hemos logrado adaptar nuevamente la línea. De esta forma, con una simple "T" podríamos conectar en un coaxil un trozo de cable que a la frecuencia produzca ese valor de Inductancia.

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Medición de la impedancia de carga con un voltímetro y un medidor de ROE

La medición de una impedancia en RF generalmente hasta hace muy poco requería de instrumental que no solía estar al alcance del aficionado medio, especialmente en FME (actualmente los VNA "Vector Network Analizers" - "Analizadores vectoriales de redes" desarrollados por aficionados se han vuelto bastante más accesibles).
Los instrumentos sencillos habitualmente producen más problemas de los que solucionan y la tarea se torna insegura, sin embargo con un medidor de ROE, unas secciones de línea, un elemental medidor de tensión de radiofrecuencia (que hasta puede ser simplemente una lámpara de Neón), una cinta métrica (y cierta dosis de indispensable paciencia) pueden realizarse mediciones precisas de impedancia. Recordemos la distribución de tensión en una línea para casos extremos.

(En la figura, el lado de la carga es el derecho y el del generador el izquierdo).
Vemos en la figura que para una carga que sea un cortocircuito, el primer mínimo de tensión se halla a exactamente 1/2
l, medido desde la carga hacia el generador (sin contar el mínimo que se produce sobre la misma carga debido al cortocircuito).

Para una carga que fuera un circuito abierto el primer mínimo de tensión se encontrará exactamente a 1/4 l de la carga medido hacia el generador; obsérvese que el segundo mínimo se encuentra a 3/4 l (vale decir 1/4 l + 1/2 l) hacia el generador, si lo midiéramos contando la distancia a partir del mínimo que daría a una carga en cortocircuito, encontraremos que está situado a 1/4 l de distancia de ese mínimo hacia el generador.
(El punto de la línea que corresponde a un mínimo cuando ella está cortocircuitada es importante para el método porque al hacer las mediciones normalmente mediremos las tensiones y distancias a partir de ese punto).

Cuando la carga es capacitiva el primer mínimo se encuentra a una distancia menor de 1/4 l medida desde la carga hacia el generador (y por ende también menor de 1/4 l de cualquier mínimo de cortocircuito).

En el caso de una carga inductiva el primer mínimo aparece a una distancia algo mayor de 1/4 l pero menor que 1/2 l hacia generador, medido desde la carga o desde un mínimo de cortocircuito.

(La figura muestra la distribución de tensión en la línea para una carga capacitiva o inductiva pura.

Esto es importante pues nos permite conocer cuál es el carácter  de una carga (capacitivo o inductivo) con solo averiguar a qué distancia se halla el mínimo a partir de un mínimo de cortocircuito habiendo reemplazado el cortocircuito por la carga en cuestión.

Aunque es posible trabajar midiendo distancias directamente desde la carga preferimos emplear el mínimo de cortocircuito como referencia pues, entre otras cosas, facilita conocer la impedancia de una antena estando alejados de ella. Así, una vez que hallamos un mínimo de cortocircuito cerca de nuestro lugar de trabajo lo marcamos y procedemos a tomar las medidas a partir de él; no obstante es correcto hacerlo así solamente si la atenuación de la línea es baja. Una aproximación razonable se obtendrá si la atenuación es inferior a 1 dB (el mínimo de cortocircuito representa virtualmente el lugar de la línea correspondiente a la carga).

Los gráficos de tensión sobre la línea de la figura (menos el último) representan casos extremos: cortocircuito, circuito abierto, reactancias puras, etc. por eso los mínimos de tensión alcanzan 0 V, sin embargo normalmente estaremos trabajando con impedancias de carga complejas (que poseen tanto resistencia como reactancia), en esos casos la posición de los mínimos serán semejantes pero raramente alcanzarán 0 V; entonces:

Si la posición del mínimo no nulo corresponde a la de un circuito abierto, es decir se encuentra a 1/4 l de  la carga (o de un mínimo de cortocircuito), la impedancia tiene un valor mayor que Zo y es puramente resistiva.

Si la posición del mínimo no nulo corresponde a la de un cortocircuito la impedancia de carga tiene un valor menor que Zo y es puramente resistiva.

Del mismo modo se razona para cargas capacitivas e inductivas.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Tenemos una carga desconocida y deseamos conocer su impedancia para ello:

  1. Medimos la ROE de la línea y obtenemos: ROE = 3 : 1
  2. Trazamos el círculo de Gamma constante que pasa por este valor.
  3. Reemplazamos la carga por un cortocircuito y con el voltímetro buscamos un mínimo en la línea que resulte cómodo para trabajar, al cual tomaremos como punto de referencia marcándolo convenientemente.
  4. Conectamos nuevamente la carga y buscamos con el voltímetro o sonda de RF el primer mínimo de tensión que se encuentre partiendo desde el punto de referencia que acabamos de marcar en dirección a la carga. Supongamos que lo encontramos a 0,069 l respecto del mínimo de referencia.
  5. Puesto que está a menos de 1/4 l (0,25 l) de distancia, ya estamos en condiciones de inferir que la carga es de naturaleza capacitiva.

Entonces:

  1. Sabemos que la impedancia desconocida debe hallarse en algún punto del círculo de Gamma constante que hemos dibujado.
  2. Sabemos que siendo capacitiva el punto estará situado en la porción de círculo de Gamma constante inferior, que es donde se hallan en el ábaco las reactancias capacitivas.
  3. Sabemos, por lo ya visto, que podemos trazar en el ábaco una semirrecta cuyo origen sea el valor 1 (el centro) que pase por el punto que representa a la impedancia hasta cortar a la escala exterior calibrada en longitudes de onda. En tales condiciones, si nos desplazáramos por la escala exterior desde ese punto (que por el momento no sabemos donde se encuentra) hacia el generador hasta llegar al eje de los reales en el punto 0 obtendríamos la distancia en longitudes de onda desde la carga hasta un mínimo de tensión (que corresponde al punto 0).

Entonces, en nuestro problema, solo es necesario hallar sobre el semicírculo de Gamma constante correspondiente a reactancias capacitivas, un punto tal que cumpla con la condición de que yendo 0,069 l (en coaxil) hacia el generador alcance justo al eje de los reales en el punto 0 (cortocircuito). Ese punto será entonces el valor de la impedancia que nos interesa conocer.

Naturalmente, una vez comprendida la idea, en la práctica procedemos a la inversa, es decir: medimos sobre la escala periférica calibrada en longitudes de onda 0,069 l contando desde el punto 0 hacia la carga del lado de las reactancia capacitiva y desde ese punto trazamos una línea hacia el centro del ábaco. Donde la línea corta al círculo de Gamma constante obtendremos el valor de la impedancia normalizado correspondiente a esa carga.

ZN = 0,4 - j0,4 desnormalizándolo obtenemos

Z = ZN x Zo =  (0,4 - j0,4) x 50 = 20 - j20 W

Este procedimiento, fácil de comprender con algún esfuerzo, se aplica directamente con líneas abiertas; empleando el ingenio puede utilizarse algún trozo de coaxil, construido al efecto, con pequeñs perforaciones destinadas a tocar el conductor central con el voltímetro. Para un "instrumento" tan poderoso no es una inversión cara... En FME se emplean líneas ranuradas coaxiles (slotted lines) que permiten el desplazamiento continuo de la punta del voltímetro.

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Bibliografía consultada:

Fisk, James R. (W1HR), How to use the Smith Chart. Ham Radio Magazine, marzo 1978.

Terman, Frederick E., Ingeniería de radio. Editorial Arbó, Bs. As. !952.

Application Note AN671. Motorola.


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